Podczas kozłowania piłki zmienia się jej pęd, a piłka działa na podłogę siłą większą niż jej ciężar.
a) Przyjmując, że piłka kozłowana przez koszykarza ma masę \(580 \ g\) i uderzając o podłogę ma prędkość \(12 \ m/s\), a po odbiciu porusza się w górę z prędkością \(10 \ m/s\), uzasadnij, że zmiana pędu piłki wywołana zderzeniem wynosi ok. \(13 \ Ns\).
b) Piłka podczas odbicia odkształca się i jest w kontakcie z podłogą w czasie ok. \(20 \ ms\). Oblicz średnią wartość siły działającej na piłkę podczas odbicia.
c) Odkształcenie piłki podczas odbicia polega na spłaszczeniu o \(3 \ cm\). Oszacuj wartość współczynnika sprężystości piłki. Uzasadnij dlaczego można podać jedynie wartość szacunkową.

Jaki maksymalny ciężar może unosić winda o masie \(500 \ kg\) poruszająca się ze stałą prędkością, aby względne wydłużenie liny, na której winda jest zawieszona nie przekroczyło \(0,1\%\). Lina wykonana jest ze stali, której moduł Younga wynosi \(2,13\cdot10^{11} \ N/m^2\) a jej przekrój poprzeczny ma promień \(0,5 \ cm\).

Jaką co najmniej średnicę musi mieć drut aluminiowy, aby obciążony ciężarem o masie \(2\) ton nie uległ rozerwaniu.
Wytrzymałość na rozciąganie dla aluminium wynosi \(64\cdot10^6 \ \frac{N}{m^2}\).

Jaką największą długość może mieć stalowy drut o gęstości \(7800 \ \frac{kg}{m^3}\) i wytrzymałości na rozciąganie \(400 \ MPa\), aby zwisając przymocowany jednym końcem, nie uległ rozerwaniu pod własnym ciężarem?

Oblicz współczynnik sprężystości sprężyny, która pod ciężarem o masie \(20 \ kg\) rozciąga się o \(4 \ cm\).
Siłą o jakiej wartości należy ściskać tę sprężynę, aby ścisnąć ją o \(3 \ cm\)?

Dwie sprężyny ściskane są jednakową siłą \(\vec{F}\). Pierwsza sprężyna o współczynniku sprężystości \(k_1 = 200 \ \frac{N}{m}\) ścisnęła się o \(\Delta x_1 = 4 \ cm\). Oblicz współczynnik sprężystości drugiej sprężyny, jeśli ścisnęła się ona o \(\Delta x_2 = 8 \ cm\).

Ciężarek o masie \(250 \ g\) zawieszony na sprężynie o stałej sprężystości \(0,2 \ N/cm\) rozciągnie tę sprężynę o długość równą około:
A. \(10,0 \ cm\).
B. \(18,2 \ cm\).
C. \(6,7 \ cm\).
D. \(12,5 \ cm\).

Dwie koleżanki chciały wyznaczyć masę arbuza. Nie miały wagi kuchennej, ale wykorzystały sprężynę, linijkę i paczkę cukru o masie \(1 \ kg\). Zawieszenie paczki cukru na sprężynie spowodowało wydłużenie sprężyny o \(4 \ cm\). Zawieszenie arbuza wydłużyło ją o \(9 \ cm\).
a) Wyznacz wartość stałej sprężystości sprężyny.
b) Wyznacz masę arbuza.

Dwie jednakowe sprężyny o współczynniku sprężystości \(k = 100 \ \frac{N}{m}\) połączono w jedną \(2\) razy dłuższą sprężynę. Oblicz współczynnik sprężystości tak otrzymanej sprężyny.

Sprężynę o współczynniku sprężystości \(k = 50 \ \frac{N}{m}\) podzielono na dwie jednakowe sprężyny i połączono równolegle w jedną. Oblicz współczynnik sprężystości nowo otrzymanej sprężyny.

Do jednego końca sprężyny przymocowana jest masa \(m_1 = 5 \ kg\), a do drugiego końca masa \(m_2 = 10 \ kg\). Jeśli układ masa-sprężyna-masa postawimy pionowo na masie \(m_1\), to sprężyna będzie miała długość \(15 \ cm\). Jeśli postawimy na masie \(m_2\), to długość sprężyny wyniesie \(10 \ cm\). Oblicz długość sprężyny bez obciążenia.

Do jednego końca sprężyny przymocowana jest masa \(m_1 = 6 \ kg\), a do drugiego końca masa \(m_2 = 12 \ kg\). Jeśli układ masa-sprężyna-masa zawiesimy na masie \(m_1\), to sprężyna będzie miała długość \(18 \ cm\). Jeśli zawiesimy na masie \(m_2\), to długość sprężyny wyniesie \(12 \ cm\). Oblicz długość sprężyny bez obciążenia.

Długość liny obciążonej siłą o wartości \(10 \ kN\) wynosi \(10 \ m\), natomiast obciążonej siłą \(15 \ kN\) jest równa \(10,2 \ m\). Ile wynosi długość liny nieobciążonej? W obliczeniach pomiń masę liny.

Rozciągnięcie sprężyny o \(1 \ cm\) z położenia równowagi wymaga wykonania pracy \(2 \ J\).Rozciągnięcie tej samej sprężyny o \(3 \ cm\), również z położenia równowagi, wymaga wykonania pracy
A. \(6 \ J\).
B. \(12 \ J\).
C. \(18 \ J\).
D. \(24 \ J\).

Sportowiec rozciąga na treningu sprężynę, ćwicząc mięśnie. Aby spowodować wydłużenie sprężyny o \(50 \ cm\) musi działać siłą \(600 \ N\). Oblicz pracę, jaką wykonuje sportowiec podczas jednokrotnego rozciągnięcia sprężyny o \(50 \ cm\) i po serii \(30\) rozciągnięć.
Oblicz moc mięśni sportowca, jeżeli całą serię (\(30\) rozciągnięć) wykonał w czasie jednej minuty.

Na sprężynie drga ciężarek. Po zawieszeniu dodatkowego, identycznego ciężarka okres drgań:
A. pozostanie bez zmiany.
B. zwiększy się \(2\) razy.
C. zmniejszy się \(2\) razy.
D. zwiększy się \(\sqrt{2}\) razy.

Masz do dyspozycji statyw, sprężynę, linijkę oraz ciężarek o znanej masie z uchwytem.
a) Zaproponuj metodę wyznaczenia współczynnika sprężystości sprężyny, zapisując w punktach podstawowe czynności, jakie powinieneś wykonać. Zapisz formułę matematyczną pozwalającą obliczyć współczynnik sprężystości sprężyny.
b) Pojedynczy ciężarek zawieszony na sprężynie wprowadzono w pionowe drgania. Wykaż, że po zawieszeniu na sprężynie \(4\) jednakowych ciężarków zamiast jednego ciężarka i wprawieniu ich w pionowe drgania częstotliwość drgań zmaleje \(2\) razy.

Sześcian o masie \(20 \ g\), zaczepiony do poziomo leżącej sprężyny, wykonuje drgania, ślizgając się bez tarcia po poziomej powierzchni. Amplituda drgań wynosi \(10 \ cm\), a maksymalne przyspieszenie \(1,6 \ \frac{m}{s^2}\).
a) Napisz równania siły sprężystości sprężyny i siły wynikającej z drugiej zasady dynamiki.
b) Oblicz współczynnik sprężystości sprężyny.

Wózek pokazany na rysunku porusza się w prawo z przyspieszeniem o wartości \(5 \ m/s^2\). O jaki odcinek klocek o masie \(10 \ kg\) ściśnie sprężynę, jeśli do jej rozciągnięcia o \(2 \ cm\) potrzebna jest siła o wartości \(10 \ N\)? Pomijamy tarcie między klockiem a podłożem wózka.

Korzystając z wykresu oblicz współczynnik sprężystości sprężyny oraz pracę potrzebną do rozciągnięcia sprężyny

a) od \(x_1 = 0\) do \(x_2 = 3 \ cm\).
b) od \(x_3 = 3 \ cm\) do \(x_4 = 6 \ cm\).

Metalowy ciężarek o masie \(1 \ kg\) zawieszono na sprężynie jak na rysunku. Po zawieszeniu ciężarka sprężyna wydłużyła się o \(0,1 \ m\). Następnie ciężarek wprawiono w drgania w kierunku pionowym o amplitudzie \(0,05 \ m\).
W obliczeniach przyjmij wartość przyspieszenia ziemskiego równą \(10 \ \frac{m}{s^{2}}\), a masę sprężyny i siły oporu pomiń.

a) Wykaż, że wartość współczynnika sprężystości sprężyny wynosi \(100 \ \frac{N}{m}\).
b) Oblicz okres drgań ciężarka zawieszonego na sprężynie, przyjmując, że współczynnik sprężystości sprężyny jest równy \(100 \ \frac{N}{m}\).

Wózek o masie \(0,5 \ kg\), połączony ze ścianą za pomocą sprężyny, wprawiono w drgania (rys.).Na wykresie przedstawiono zależność siły powodującej ruch wózka od jego przemieszczenia. W obliczeniach pomiń opory ruchu.

a) Oblicz współczynnik sprężystości sprężyny.
b) Wykaż, że maksymalna wartość przyspieszenia wózka wynosi \(4 \ \frac{m}{s^{2}}\).

Skoki na linie zaczęły być popularne w różnych krajach w latach osiemdziesiątych ubiegłego wieku. Wykonując taki skok zawodnik przywiązuje do nóg sprężystą linę o długości \(D\) (zamocowaną drugim końcem do platformy startowej) i powoli przechylając się rozpoczyna swobodne spadanie w dół. Po wyprostowaniu lina zaczyna się rozciągać o długość \(x\) i hamuje ruch zawodnika.

a) (2 pkt)
Zamieszczony poniżej wykres przedstawia uproszczoną zależność wysokości skoczka nad powierzchnią Ziemi od czasu, jaki upływa od początku skoku. Przeanalizuj wykres oraz zjawisko spadania skoczka (działające siły) i zapisz w tabeli nazwę rodzaju ruchu (przyspieszony, opóźniony), jakim porusza się skoczek dla każdego etapu. Pomiń wzrost skoczka oraz ciężar liny.

b) (4 pkt)
Przed użyciem liny do skoków bungee, dokonano pomiarów zależności wydłużenia liny od wartości siły, z jaką ją rozciągano. Pomiarów dokonano z dokładnością: \(\Delta F = \pm 50 \ N\), \(\Delta x = \pm 0,5 \ m\). Wyniki zapisano w tabeli:

Siła \(F, N\)	550	650	900	1250	1850	2350
Wydłużenie \(x, m\)	4	5	7	10	14	18

Wykonaj na sąsiedniej stronie wykres zależności wartości siły rozciągającej linę od wydłużenia liny. W tym celu dobierz odpowiednio osie współrzędnych, skale wielkości i jednostki, zaznacz punkty, nanieś niepewności pomiarowe i wykreśl linię ilustrującą tę zależność.
c) (2 pkt)
Wykaż, że średnia wartość współczynnika sprężystości badanej liny wynosi około \(130 \ N/m\).

Swobodnie zwisająca lina, o współczynniku sprężystości równym \(130 \ N/m\), ma długość \(D = 20 \ m\). Człowiek o masie \(65 \ kg\), któremu zamocowano do nóg koniec liny pochyla się i spada z platformy startowej. Ciężar liny pomiń.
d) (2 pkt)
Oblicz wartość prędkości skoczka w momencie, kiedy lina jest wyprostowana, ale jeszcze nie napięta. Pomiń opory powietrza.
e) (2 pkt)
Wykaż, wykonując niezbędne obliczenia, że maksymalne wydłużenie liny podczas skoku wynosi około \(20 \ m\).